Определенный интеграл вычисление площади фигуры. Вычисление площадей фигур, ограниченных заданными линиями. Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры

Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу вычисления площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла . Наконец-то все ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.

Для успешного освоения материала, необходимо:

1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Не.

2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений . Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому актуальным вопросом будут также ваши знания и навыки построения чертежей. Как минимум, надо уметь строить прямую, параболу и гиперболу.

Начнем с криволинейной трапеции. Криволинейной трапеция - это плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции y = f (x ), осью OX и линиями x = a ; x = b .

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу

У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений мы говорили, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ . То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры . Рассмотрим определенный интеграл

Подынтегральная функция

задает на плоскости кривую (её при желании можно начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

, , , .

Это типовая формулировка задания. Важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. С техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций . Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

В данной задаче решение может выглядеть так.

Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение y = 0 задает ось OX ):

Штриховать криволинейную трапецию не будем, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке [-2; 1] график функции y = x 2 + 2 расположен над осью OX , поэтому:

Ответ: .

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница

,

обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений . После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 4, x = 2, x = 4 и осью OX .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью OX ?

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = e - x , x = 1 и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж:

Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью OX , то её площадь можно найти по формуле:

В данном случае:

.

Внимание! Не следует путать два типа задач:

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 2x – x 2 , y = -x .

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. При построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы y = 2x – x 2 и прямой y = -x . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования a = 0, верхний предел интегрирования b = 3. Часто выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

Повторимся, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматоматически».

А теперь рабочая формула:

Если на отрезке [a ; b ] некоторая непрерывная функция f (x ) больше либо равна некоторой непрерывной функции g (x ), то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из 2x – x 2 необходимо вычесть –x .

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой y = 2x – x 2 сверху и прямой y = -x снизу.

На отрезке 2x – x 2 ≥ -x . По соответствующей формуле:

Ответ: .

На самом деле, школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. пример №3) – частный случай формулы

.

Поскольку ось OX задается уравнением y = 0, а график функции g (x ) расположен ниже оси OX , то

.

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения

Пример 5

Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но, по невнимательности,… найдена площадь не той фигуры.

Пример 7

Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике, по невнимательности, нередко решают, что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке [-1; 1] над осью OX расположен график прямой y = x +1;

2) На отрезке над осью OX расположен график гиперболы y = (2/x ).

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

Пример 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Представим уравнения в «школьном» виде

и выполним поточечный чертеж:

Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: b = 1.

Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое?

Может быть, a =(-1/3)? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что a =(-1/4). А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения графиков

Для этого решаем уравнение:

.

Следовательно, a =(-1/3).

Дальнейшее решение тривиально. Главное, не запутаться в подстановках и знаках. Вычисления здесь не самые простые. На отрезке

, ,

по соответствующей формуле:

Ответ:

В заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.

Пример 9

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.

Для поточечного построения чертежа необходимо знать внешний вид синусоиды. Вообще, полезно знать графики всех элементарных функций, а также некоторые значения синуса. Их можно найти в таблице значений тригонометрических функций . В ряде случаев (например, в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.

С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия:

– «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:

На отрезке график функции y = sin 3 x расположен над осью OX , поэтому:

(1) Как интегрируются синусы и косинусы в нечетных степенях, можно посмотреть на уроке Интегралы от тригонометрических функций . Отщипываем один синус.

(2) Используем основное тригонометрическое тождество в виде

(3) Проведем замену переменной t = cos x , тогда: расположен над осью , поэтому:

.

.

Примечание: обратите внимание, как берется интеграл от тангенса в кубе, здесь использовано следствие основного тригонометрического тождества

.

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x для непрерывной и неотрицательной функции y = f (x) на отрезке [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x для непрерывной и неположительной функции y = f (x) на отрезке [ a ; b ] .

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y = f (x) или x = g (y) .

Теорема

Пусть функции y = f 1 (x) и y = f 2 (x) определены и непрерывны на отрезке [ a ; b ] , причем f 1 (x) ≤ f 2 (x) для любого значения x из [ a ; b ] . Тогда формула для вычисления площади фигуры G , ограниченной линиями x = a , x = b , y = f 1 (x) и y = f 2 (x) будет иметь вид S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y = c , y = d , x = g 1 (y) и x = g 2 (y) : S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Доказательство

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G 1 равна площади фигуры G 2 . Это значит, что

Поэтому, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Во втором случае справедливо равенство: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Если обе функции неположительные, получаем: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y = f 1 (x) и y = f 2 (x) пересекают ось O x .

Точки пересечения мы обозначим как x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Эти точки разбивают отрезок [ a ; b ] на n частей x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , где α = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Следовательно,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f (x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Формулу S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x можно считать доказанной.

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y = f (x) и x = g (y) .

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Пример 1

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y = - x 2 + 6 x - 5 и прямыми линиями y = - 1 3 x - 1 2 , x = 1 , x = 4 .

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

На отрезке [ 1 ; 4 ] график параболы y = - x 2 + 6 x - 5 расположен выше прямой y = - 1 3 x - 1 2 . В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Ответ: S (G) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x = 7 . Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы y = x + 2 . Для нахождения абсциссы используем равенства:

y = x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З

Получается, что абсциссой точки пересечения является x = 2 .

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y = x + 2 , y = x пересекаются в точке (2 ; 2) , поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале [ 2 ; 7 ] график функции y = x расположен выше графика функции y = x + 2 . Применим формулу для вычисления площади:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Ответ: S (G) = 59 6

Пример 3

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y = 1 x и y = - x 2 + 4 x - 2 .

Решение

Нанесем линии на график.

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1 x и - x 2 + 4 x - 2 . При условии, что x не равно нулю, равенство 1 x = - x 2 + 4 x - 2 становится эквивалентным уравнению третьей степени - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Корнем этого уравнения является х = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0 .

Разделив выражение - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 на двучлен x - 1 , получаем: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Мы нашли интервал x ∈ 1 ; 3 + 13 2 , на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Ответ: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Пример 4

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y = x 3 , y = - log 2 x + 1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y = - log 2 x + 1 из графика y = log 2 x , если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у = 0 .

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y = x 3 и y = 0 пересекаются в точке (0 ; 0) . Так получается потому, что х = 0 является единственным действительным корнем уравнения x 3 = 0 .

x = 2 является единственным корнем уравнения - log 2 x + 1 = 0 , поэтому графики функций y = - log 2 x + 1 и y = 0 пересекаются в точке (2 ; 0) .

x = 1 является единственным корнем уравнения x 3 = - log 2 x + 1 . В связи с этим графики функций y = x 3 и y = - log 2 x + 1 пересекаются в точке (1 ; 1) . Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x 3 = - log 2 x + 1 не может иметь более одного корня, так как функция y = x 3 является строго возрастающей, а функция y = - log 2 x + 1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x ∈ 0 ; 1 , а вторая ниже красной линии на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это значит, что площадь будет равна S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x ∈ 0 ; 2 , а вторая между красной и синей линиями на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y . Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y .

Разрешим уравнения y = x 3 и - log 2 x + 1 относительно x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Получим искомую площадь:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Ответ: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Пример 5

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x , y = 2 3 x - 3 , y = - 1 2 x + 4 .

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y = x . Синим цветом нанесем линию y = - 1 2 x + 4 , черным цветом обозначим линию y = 2 3 x - 3 .

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций y = x и y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 О Д З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 П р о в е р к а: x 1 = 16 = 4 , - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 · 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я ⇒ (4 ; 2) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = x и y = - 1 2 x + 4

Найдем точку пересечения графиков функций y = x и y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 О Д З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 - 729 8 = 9 4 П р о в е р к а: x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я ⇒ (9 ; 3) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = x и y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я

Найдем точку пересечения линий y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Тогда решим уравнение линии относительно x , а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

y = x ⇒ x = y 2 к р а с н а я л и н и я y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л и н и я y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 с и н я я л и н и я

Таким образом, площадь равна:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S (G) = 11 3

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, и гиперболу .

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл.

С точки зрения геометрии определенный интеграл - это ПЛОЩАДЬ .

То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения - построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом - параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно.

В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже - ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка - в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение : Выполним чертеж:

Если криволинейная трапеция расположена под осью (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле:

В данном случае:

Внимание! Не следует путать два типа задач :

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение : Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ - аналитический. Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .

Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться .

Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.

Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула : Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура - над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой - НИЖЕ .

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение : Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие - чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов.

Действительно :

1) На отрезке над осью расположен график прямой ;

2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Инструкция

При построении графиков двух заданных функций в области их пересечения образуется замкнутая фигура, ограниченная этими кривыми и двумя прямыми линиями х=а и х=b, где а и b – концы рассматриваемого интервала. Эту фигуру визуально отображают штрихом. Ее площадь можно вычислить, проинтегрировав разность функций.

Функция, расположенная выше на графике, является большей величиной, следовательно, в формуле ее выражение будет стоять первым: S = ∫f1 – ∫f2, где f1 > f2 на промежутке [а, b]. Впрочем, приняв во внимание, что количественная любого геометрического объекта является величиной положительной, можно вычислить площадь фигуры, графиками функций, по модулю:
S = |∫f1 – ∫f2|.

Такой вариант тем более удобен, если нет возможности или времени на построение графика. При вычислении пользуются правилом Ньютона-Лейбница, которое предполагает подстановку в конечный результат предельных значений интервала. Тогда площадь фигуры равна разности двух значений первообразной, найденной на этапе интегрирования, из большего F(b) и меньшего F(а).

Иногда замкнутая фигура на заданном интервале образуется путем полного пересечения , т.е. концы интервала являются точками, принадлежащими обеим кривым. Например: найдите точки пересечения линий у = х/2 + 5 и у = 3 х – х²/4 + 3 и вычислите площадь.

Решение.
Чтобы найти точки пересечения, составьте уравнение:
х/2 + 5 = 3 х – х²/4 + 3 → х² – 10 х + 8 = 0
D = 100 - 64 = 36 → х1,2 = (10 ± 6)/2.

Итак, вы нашли концы интервала интегрирования :
S = |∫ (3 х – х²/4 + 3 – х/2 - 5)dх| = |(5 х²/4 – х³/12 - 2 х)| ≈ 59.

Рассмотрите другой пример: у1 = √(4 х + 5); у2 = х и дано уравнение прямой х = 3.
В этой задаче дан только один конец интервала х=3. Это значит, что второе значение требуется найти из графика. Постройте линии, заданные функциями у1 и у2. Очевидно, что значение х=3 является верхним ограничением, следовательно, нужно определить нижний предел. Для этого приравняйте выражения:
√(4 х + 5) = х ²
4 х + 5 = х² → х² – 4 х – 5 = 0

Найдите корни уравнения:
D = 16 + 20 = 36 → х1 = 5; х2 = -1.
Посмотрите на график, нижним значением интервала является -1. Поскольку у1 расположено выше у2, то:
S = ∫(√(4 х + 5) - х)dх на промежутке [-1; 3].
S = (1/3 √((4 х + 5)³) – х²/2) = 19.

Источники:

• найти площадь фигуры ограниченную графиком функции

Совет 2: Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Инструкция

Вычислите точки пересечения этих линий. Для этого вам их функции, где y будет выражен через х1 и х2. Составьте систему уравнений и решите ее. Найденные вами x1 и х2 являются абсциссами необходимых вам точек. Подставьте их в исходные для каждого х и найдите значения ординат. Теперь у вас есть точки пересечения линий.

Постройте пересекающиеся линии в соответствии с их функциями. Если фигура получается незамкнутая, то в большинстве случаев она ограничена еще и осью абсцисс или ординат либо же сразу обеими координатными осями (зависит от получившейся фигуры).

Заштрихуйте получившуюся фигуру. Это стандартный прием для оформления подобного рода задач. Штриховку производите из левого верхнего угла в правый нижний линями, расположенными на равном расстоянии. Это выглядит крайне сложно на первый взгляд, но если задуматься, то всегда одни и те же и, запомнив их , можно в дальнейшем избавиться от проблем, связанных с вычислением площади.

Выполняйте вычисление площади фигуры в зависимости от ее . Если форма простая (такая как квадрат, треугольник, ромб и другие), то воспользуйтесь базовыми формулами из курса геометрии. Будьте внимательны при подсчетах, поскольку неверные вычисления не дадут нужного результата, и вся работа может оказаться напрасной.

Выполняйте сложные вычисления по формуле, если фигура не является стандартной. Для составления формулы вычислите интеграл из разности формул функций. Для нахождения интеграла можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница или основной теоремой анализа. Она состоит в следующем: если функция f непрерывна на отрезке от a до b и ɸ является ее производной на этом отрезке, то справедливо следующее равенство: интеграл от a до b от f(x)dx = F(b) - F(a).

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями, применяется одно из свойств интеграла, которое заключается в аддитивности площадей, интегрируемых на одном и том же отрезке функций.

Инструкция

Тогда площадь фигуры можно выразить формулой, интегрирующей разность функций на интервале . Вычисление интеграла производится по закону Ньютона-Лейбница, согласно которому результат равен разности первообразной функции от граничных значений интервала.

Пример1.
Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями y = -1/3·x – ½, x = 1, x = 4 и параболой y = -x² + 6·x – 5.

Решение.
Постройте графики всех линий. Вы можете увидеть, что линия параболы находится выше прямой y = -1/3·x – ½. Следовательно, под знаком интеграла в данном случае должна стоять разность между уравнением параболы и заданной прямой. Интервал интегрирования, соответственно, находится между точками x = 1 и x = 4:
S = ∫(-x² + 6·x – 5 – (-1/3·x – 1/2))dx = (-x² +19/3·x – 9/2)dx на отрезке .

Найдите первообразную для полученного подынтегрального выражения:
F(-x² + 19/3x – 9/2) = -1/3x³ + 19/6x² – 9/2x.

Подставьте значения концов отрезка:
S = (-1/3·4³ + 19/6·4² – 9/2·4) – (-1/3·1³ + 19/6·1² – 9/2·1) = 13.

Пример2.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = √(x + 2), y = x и прямой x = 7.

Решение.
Эта задача является более сложной по сравнению с предыдущей, поскольку в ней нет второй прямой, параллельной оси абсцисс. Это значит, что второе граничное значение интеграла неопределенно. Следовательно, его нужно найти из графика. Постройте заданные линии.

Вы увидите, то прямая линия y = x проходит диагонально относительно координатных осей. А график функции корня – это положительная половина параболы. Очевидно, что линии на графике пересекаются, поэтому точка пересечения и будет нижним пределом интегрирования.

Найдите точку пересечения, решив уравнение:
x = √(x + 2) → x² = x + 2 → x² – x – 2 = 0.

Определите корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
D = 9 → x1 = 2; x2 = -1.

Очевидно, что значение -1 не подходит, поскольку абсцисса токи пересечения – положительная величина. Следовательно, второй предел интегрирования x = 2. Функция y = x на графике выше функции y = √(x + 2), поэтому в интеграле она будет первой.
Проинтегрируйте получившееся выражение на интервале и найдите площадь фигуры:
S = ∫(x - √(x + 2))dx = (x²/2 – 2/3·(x + 2)^(3/2)).

Подставьте интервальные значения:
S = (7²/2 – 2/3·9^(3/2)) – (2²/2 – 2/3·4^(3/2)) = 59/6.

Источники:

• найти площадь ограниченную линиями

Совет 4: Как вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

Еще из школьного курса известно, что для нахождения площадей фигур на координатной плоскости необходимо знание такого понятия, как интеграл. Для его применения в целях определения площадей криволинейных трапеций - именно так и называются эти фигуры - достаточно знать определенные алгоритмы.