Урок на тему «Логические операции. Дизъюнкция. Простейшие логические операции в информатике Как иначе называют операцию логического сложения

Конъюнкция 1 – это суждение , полученное из любых двух других суждений посредством логического союза «и» .

Пример. Если суждения «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить связкой «и», получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».

Конъюнкция истинна только в случае , когда оба входящих в нее суждения являются истинными .

Если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.

Суждение А может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о суждении В . Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих суждений.

Обозначим конъюнкцию символом «˄». Используется также символ «&». Таблица истинности для конъюнкции такова.

		А ˄ В

Дизъюнкция

Нестрогая дизъюнкция 2 – это суждение, полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «или».

В повседневном языке слово «или» имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». В логике и математике слово «или» всегда употребляется в неисключающем значении.

Итак, дизъюнкция является нестрогой, если ее члены не исключают друг друга.

Пример . Суждение «В этом сезоне я хочу пойти на “Пиковую даму” или на “Аиду”» является нестрогой дизъюнкцией.

Строгая дизъюнкция ‒ это суждение , полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «либо …, либо …» .

Пример . В суждении «Он учится в Московском или в Саратовском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.

Нестрогая дизъюнкция означает, что, по крайней мере, одно из этих суждений истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Строгая дизъюнкция означает, что одно из них истинно, а второе – ложно.

Символ «v» обозначает нестрогую дизъюнкцию, символ «V» – строгую дизъюнкцию. Применяются также другие обозначения.

Нестрогая дизъюнкция истинна , когда хотя бы одно из входящих в нее суждений истинно , и ложна тогда , когда оба ее члена ложны .

Строгая дизъюнкция истинна , когда истинным является только один из ее членов , и она ложна , когда оба ее члена истинны или оба ложны .

Таблица истинности для дизъюнкции такова.

		A v В	A V B

Импликация

Импликация 3 – это суждение , полученное из любых двух суждений посредством логического союза «если …, то …» .

Примеры. «Если есть огонь, то есть дым», «Если число делится на 9, то оно делится на 3» и т.п.

Суждение, которому предпослано слово «если», называется основанием , или антецедентом 4 . Суждение, идущее после слова «то», называется следствием , или консеквентом 5 . Антецедент ‒ достаточное условие для консеквента, консеквент – необходимое условие для антецедента.

Логический союз «если..., то...» может выражаться с помощью различных языковых средств.

Пример. «Так как вода ‒ жидкость, она передает давление во все стороны равномерно».

Импликация не предполагает, что суждения А и В как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности В суждение «если А, то В» истинно независимо от того, является А истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет.

Не может случиться так , чтобы основание было истинным, а следствие – ложным .

Только когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна.

Примеры . Истинными считаются суждения: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четырем», «Если Волга – озеро, то Токио – большой город» и т.п. К истинным относятся, к примеру, высказывания: «Если Солнце – куб, то Земля – треугольник», «Если дважды два равно пяти, то Токио ‒ маленький город» и т.п.

В обычном рассуждении все эти суждения вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.

Будем обозначать импликацию символом «→». Таблица истинности для импликации такова.

		A → В

Дизъюнкция

Дизъю́нкция - (лат. disjunctio - разобщение) логическая операция , по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». Синонимы: логи́ческое «ИЛИ» , включа́ющее «ИЛИ» , логи́ческое сложе́ние , иногда просто «ИЛИ» .

Дизъюнкция может быть бинарной операцией, то есть, иметь два операнда, тернарной операцией, то есть иметь три операнда или n-арной операцией, то есть иметь n операндов.
Запись может быть префиксной - знак операции стоит перед операндами (польская запись), инфиксной - знак операции стоит между операндами или постфиксной - знак операции стоит после операндов. При числе операндов более 2-х префиксная и постфиксная записи экономичнее.
Чаще всего встречаются следующие варианты записи:
|| | .

Булева алгебра

Определение.
Логическая функция MAX в двухзначной (двоичной) логике называется дизъюнкция (логи́ческое "ИЛИ" , логи́ческое сложе́ние или просто "ИЛИ" ).
Правило: результат равен наибольшему операнду.
Описание.
В булевой алгебре дизъюнкция - это функция двух, трёх или более переменных (они же - операнды операции, они же - аргументы функции).
Правило: результат равен , если все операнды равны ; во всех остальных случаях результат равен .

Таблица истинности

Таблица истинности для тернарной (трёхоперандной) дизъюнкции:

X	Y	Z	X Y Z
0	0	0	0
1	0	0	1
0	1	0	1
1	1	0	1
0	0	1	1
1	0	1	1
0	1	1	1
1	1	1	1

Многозначная логика

Операция, называемая в двоичной логике дизъюнкция , в многозначных логиках называется максимум : , где , а - значность логики. Возможны и другие варианты. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов .

Следует отметить, что название этой операции максимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия дизъюнкция , логи́ческое "ИЛИ" , логическое сложе́ние и просто "ИЛИ" имеют смысл только в двоичной логике, а при переходе к многозначным логикам теряют смысл.

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом . Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода. Высоко летать-больно падать

Схемотехника

0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

Мнемоническое правило для дизъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

• "1" тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «1»,
• "0" тогда и только тогда, когда на всех входах «0»

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта дизъюнкции: логическое «ИЛИ» и побитовое «ИЛИ». Например, в языках C/C++ логическое «ИЛИ» обозначается символом "||", а побитовое - символом "|". В языках Pascal/Delphi оба вида дизъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «or », а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) - выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) - поразрядная.

Логическое «ИЛИ» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата или . Например:

If (a || b) { /* какие-то действия */ } ;

Результат будет равен , если оба операнда равны или . В любом другом случае результат будет равен .

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно , то значение правого операнда не вычисляется (вместо может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую

{$B-}

или выключающую

{$B+}

подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет необходимость вычисления правого операнда:

If (a == NULL || a-> x == 0 ) { /* какие-то действия */ } ;

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдёт разыменования нулевого указателя.

Побитовое «ИЛИ» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если
a =
b =
то
a ИЛИ b =

Связь с естественным языком

Часто указывают на сходство между дизъюнкцией и союзом «или» в естественном языке, когда он употребляется в смысле «или то, или то, или оба сразу». В юридических документах часто пишут: «и/или», подразумевая «или то, или то, или оба сразу». Составное утверждение «A и/или B» считается ложным, когда ложны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение истинно. Это в точности соответствует определению дизъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как , а «ложь» как .

Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» используется в двух значениях: то для обозначения дизъюнкции, то для другой операции -

Логическое сложение (дизъюнкция)

Логическое сложение - одна из трех базовых операций логической алгебры.

Соединение двух (или нескольких) высказываний союзом ИЛИ называется дизъюнкцией или логическим сложением . Логическое сложение схоже с союзом ИЛИ в естественном языке, если он употребляется в смысле «или то, или это, или оба сразу». Операцию логического сложения часто называют операцией ЛОГИЧЕСКОГО ИЛИ .

Высказывание А+В истинно (равно 1) тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний А или В, и ложно только тогда, когда ложны оба слагаемых (равны 0).

0 + 0 = 0 1 + 1 = 1

Следует обратить внимание на то, что при сложении двух логических единиц получается логическая единица. Алгебра логики оперирует только двумя значениями - ложью (логический 0) и истиной (логическая 1). Истина не может быть двойной или истиной в квадрате, поэтому при сложении двух истин мы получаем просто истину. Точно также при сложении двух логических сигналов высокого уровня мы получаем логический сигнал высокого уровня.

Дизъюнкция обозначается символом v или знаком сложения (+).

Правила логического сложения двух высказываний можно свести в следующую таблицу:

A	B	A + B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Такая таблица называется таблицей истинности для дизъюнкции.

Нетрудно увидеть, что первые три строки таблицы соответствуют правилам сложения двоичных чисел в одном разряде без учета и образования переноса.

Дизъюнкция n переменных ложна тогда и только тогда, когда все составляющие ее переменные ложны.

В логических схемах BEAM-роботов логическое ИЛИ используется для согласования двух логических сигналов.

Другие базовые операции в алгебре логики

Операция дизъюнкция (лат. disjunctio - разделение) (логическое сложение ) - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Условное обозначение на структурных схемах логического элемента ИЛИ с двумя входами представлено на Рис. 2.8. Знак 1 на схеме - от устаревшего обозначения дизъюнкции как >=1 (т.е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1). Связь между выходом F этой схемы и входами A и B описывается соотношением: F = A v B (читается как A или B).

Рис. 2.8. Логический элемент электронной схемы ИЛИ

Рассмотрим таблицу истинности для операции дизъюнкции ИЛИ с двумя входами A и B.

Таблица 2.3

Операция дизъюнкции (логическое сложение)

А (вход)	B(вход)	A v B (выход)

Для обозначения дизъюнкции используют знаки Ú, + , или .

Операции дизъюнкции в электрических контактных схемах соответствует параллельное соединение контактов. Например, электрическая контактная схема на рисунке 2.9 соответствует дизъюнкции .

Рис. 2.9 Параллельное соединение контактов

Набор выше рассмотренных логических функций НЕ, И, ИЛИ (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция) наиболее известный и называется функционально полным набором или базисом . С помощью этих логических функций можно выразить любые другие логические функции.

Нестрогая и строгая дизъюнкция

Поскольку связка «или» употребляется в естественном языке в двух значениях – соединительно-разделительном и исключающе-разделительном, то следует различать два типа разделительных суждений: 1) нестрогую (слабую) дизъюнкцию и 2) строгую (сильную) дизъюнкцию.

Нестрогая дизъюнкция – суждение, в котором связка «или» употребляется в соединительно-разделительном значении (символ ?). Напр.: «Холодное оружие может быть колющим или режущим» – символически р ? q. Связка «или» в данном случае разделяет, поскольку отдельно существуют такие виды оружия, и соединяет, ибо есть оружие, одновременно и колющее, и режущее.

Нестрогая дизъюнкция будет истинна при истинности хотя бы одного члена дизъюнкции и ложна, если оба ее члена будут ложны.

Строгая дизъюнкция – суждение, в котором связка «или» употребляется в разделительном значении (символ – двойная дизъюнкция). Напр.: «Деяние может быть умышленным или неосторожным», символически.

Члены строгой дизъюнкции, называемые альтернативами, не могут быть одновременно истинными. Если деяние совершено умышленно, то его нельзя считать неосторожным, и, наоборот, деяние, совершенное по неосторожности, не может быть отнесено к умышленным.

Строгая дизъюнкция будет истинна при истинности одного и ложности другого члена; она будет ложна, если оба члена истинны или оба ложны. Таким образом, суждение строгой дизъюнкции будет истинным при истинности одной альтернативы и ложным как при одновременной ложности, так и одновременной истинности альтернатив.

Разделительная связка в языке обычно выражается с помощью союзов «или», «либо». С целью усиления дизъюнкции до альтернативного значения нередко употребляют удвоенные союзы: вместо выражения «р или q» употребляют «или р, или q», а вместе «р либо q» – «либо р, либо q». Поскольку в грамматике отсутствуют однозначные союзы для нестрогого и строгого разделения, то вопрос о типе дизъюнкции в юридических и других текстах должен решаться содержательным анализом соответствующих суждений.

Полная и неполная дизъюнкция

Полным или закрытым называют дизъюнктивное суждение, в котором перечислены все признаки или все виды определенного рода.

Символически это суждение можно записать следующим образом: < р ? q ? r >. Напр.: «Леса бывают лиственные, хвойные или смешанные». Полнота этого разделения (в символической записи обозначается знаком < … >) определяется тем, что не существует помимо указанных, других видов лесов.

Неполным, или открытым, называют дизъюнктивное суждение, в котором перечислены не все признаки или не все виды определенного рода. В символической записи неполнота дизъюнкции может быть выражена многоточием: р ? q ? r ? … В естественном языке неполнота дизъюнкции выражается словами: «и т. д.», «и др.», «и тому подобное», «иные» и др.